串并转换和阻抗变换

本文介绍了串联和并联电路的转换，以及Q值的计算。

串并联转换

串联->并联

$$Q=\frac{X_s}{R_s}\\ R_p=(1+Q^2)R_s\\ X_p=X_s\left(1+\frac{1}{Q^2}\right)$$

并联->串联

$$Q=\frac{R_p}{X_p}\\ R_s=\frac{R_p}{(1+Q^2)}\\ X_s=\frac{X_p}{\left(1+\frac{1}{Q^2}\right)}$$

谐振网络Q值的计算

串联或者并联谐振网络的Q值为

$$\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_L}+\frac{1}{Q_C}$$

对于并联谐振网络且有多个电容的，为

$$\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_L}+\sum_{n}\frac{C_n}{C_{tot}}\frac{1}{Q_{C_n}}$$

其中$C_{tot}=\sum_nC_n$

阻抗匹配

L型

Rs>Rl

可得

$$Q=\sqrt{\frac{R_S}{R_L}-1}\\ X_S=QR_L\\ X_P=\frac{R_S}{Q}$$

Rs<Rl

可得

$$Q=\sqrt{\frac{R_L}{R_S}-1}\\ X_P=\frac{R_L}{Q}\\ X_S=QR_S$$

电容部分接入

当$Q\gg1$时，可将并联网络转换为串联网络，再将其转回并联网络。在第一次转换后，$C_1'\approx C_1,R_S=[(\omega C_1)^2R_L]^{-1}$；在第二次转换后，有

$$\begin{aligned} C_{eq} &= \frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\\ R_{tot} &= \frac{1}{(\omega C_{eq})^2R_S}\\ &= \left(1+\frac{C_1}{C_2}\right)^2R_L \end{aligned}$$

对于低Q电路而言，有

$$Y_{in}=\frac{j\omega C_2(1+j\omega R_LC_1)}{1+j\omega R_L(C_1+C_2)}$$

其等效并联电阻为

$$R_{tot}=\frac{1}{\omega^2C_2^2R_L}+R_L\left(1+\frac{C_1}{C_2}\right)^2$$

理论推导

这里包含上面三个结论的理论推导。

并联->串联

推导如下

$$\begin{aligned} R_s+jX_s&=\frac{1}{\frac{1}{R_p}+\frac{1}{jX_p}}\\ &=\frac{R_pX_p^2}{R_p^2+X_p^2}+j\frac{R_p^2X_p}{R_p^2+X_p^2}\\ &=\frac{R_p}{(1+Q^2)}+j\frac{X_p}{\left(1+\frac{1}{Q^2}\right)} \end{aligned}$$

相应的，交换顺序可得串联->并联。

实际并联LC网络的Q值

考虑一个具有Q值的电感和电容的并联谐振，其中电感常用串联LR模型，电容常用并联CR模型。

计算这个网络的等效Q值时，首先将串联的LR转换为等效并联LR，有

$$R_{s,p}=R_s(1+Q_L^2)\\ L_{s,p}=L_s\left(1+\frac{1}{Q_L^2}\right)$$

将两个电阻并联，有

$$R_{s,p||p}=\frac{1}{\frac{1}{R_{s,p}}+\frac{1}{R_p}}$$

于是整体Q值为

$$\begin{aligned} Q&=\omega C_pR_{s,p||p}\\ &=\frac{\omega C_p}{\frac{1}{R_{s,p}}+\frac{1}{R_p}}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{\omega C_pR_{s,p}}+\frac{1}{Q_C}}\\ &=\frac{1}{\frac{\omega L_{s,p}}{R_{s,p}}+\frac{1}{Q_C}}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{Q_L}+\frac{1}{Q_C}}\\ \end{aligned}$$

也即

$$\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_L}+\frac{1}{Q_C}$$

值得注意的是，其中的$\omega$定义为

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{L_{s,p}C_p}}=\frac{\sqrt{1-\frac{C_pR_s^2}{L_s}}}{\sqrt{L_{s}C_p}}\approx\frac{1}{\sqrt{L_{s}C_p}}$$

当串联电阻较小时可以简化为最后一项。

实际串联LC网络的Q值

另考虑一个具有Q值的电感和电容的串联谐振。

计算这个网络的等效Q值时，首先将并联LC转换为等效串联的LC，有

$$R_{p,s}=\frac{R_p}{(1+Q_C^2)}\\ C_{p,s}=C_p\left(1+\frac{1}{Q_C^2}\right)$$

将两个电阻串联，有

$$R_{p,s+s}=R_s+R_{p,s}$$

于是整体Q值为

$$\begin{aligned} Q&=\frac{\omega L_s}{R_s+R_{p,s}}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{Q_L}+\frac{R_{p,s}}{\omega L_s}}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{Q_L}+\omega C_{p,s}R_{p,s}}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{Q_L}+\frac{1}{Q_C}}\\ \end{aligned}$$

也即

$$\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_L}+\frac{1}{Q_C}$$

此时，$\omega$定义为

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{L_{s}C_{p,s}}}=\frac{\sqrt{1-\frac{L_s}{C_pR_p^2}}}{\sqrt{L_{s}C_p}}\approx\frac{1}{\sqrt{L_{s}C_p}}$$

当并联电阻较大时可以简化为最后一项。

参考

相关内容可以参考

• B. Razavi, RF Microelectronics.
• 李志群, 王志功, 射频集成电路与系统.