Mathematica的常用操作和常用函数

本文介绍了Mathematica的常用操作和常用函数。

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语法

(* 使用最近的输出 *)
%		(* 使用上次计算结果 *)
%%		(* 使用上上次计算结果 *)

(* 定义变量 *)
element = 1; position = 2;

(* 创建列表 *)
list = {1, 2, 3}

(* 访问列表元素，从1开始 *)
list[[1]]		(* 第一个 *)
list[[-1]]		(* 最后一个 *)
list[[2;;3]]	(* 切片，第二至三个 *)

(* 修改表元素，不直接修改，返回修改后的表 *)
Length[list]			(* 返回第一层长度 *)
Append[list, element]	(* 在最后插入 *)
Prepend[list, element]	(* 在最前插入 *)
Delete[list, position]	(* 删除第position个元素 *)
Insert[list, element, position]	(* 在第position个元素前插入element *)
Union[list, list]		(* 并集，删除重复元素 *)
Join[list, list]		(* 连接，不删除重复元素 *)

(* 关联 *)
association = <|"a"->1, "b"->2|>
association = Association[{"a"->1, "b"->2}]
association["a"]
Keys[association]
Values[association]

(* 迭代器形式 *)
Table[x, {x, 5}]			(* 变量名，最大值 *)
Table[x, {x, 1, 5}]			(* 变量名，最小值，最大值 *)
Table[x, {x, 1, 5, 2}]		(* 变量名，最小值，最大值，步长 *)
Table[x, {x, {2, 3, 5}}]	(* 变量名，值的列表 *)
Table[{x,y}, {x,1,3}, {y,5,7}]	(* 嵌套，第一个是外索引 *)

(* 赋值和延迟赋值 *)
a = RandomReal[]	(* 立即赋值，每次访问a的值相同 *)
b := RandomReal[]	(* 延迟赋值，每次访问b时才计算，不同 *)

(* 创建规则，用a替换b *)
rule = a->b

(* 应用规则（替换） *)
3 b /. rule
x + y /. {x->1, y->2}

(* 定义函数，下划线表示接受任意类型，输出最后一个值 *)
add[x_, y_] := (c = x + 2; d = y + 2; c + d)

(* 定义分段函数 *)
f[x_] := x /; x>0
f[x_] := -x /; x<=0

(* 纯函数 *)
(#+1)&		(* 只有一个变量，使用时可为(#+1)&[5] *)
(#1+#2)&	(* 多个变量，使用时可为(#1+#2)&[5,6] *)

(* 应用函数 *)
f@x			(* 普通函数应用，等价于f[x] *)
x//f		(* 普通函数应用，等价于f[x] *)
f@{{a,b}, {c,d}}		(* 普通应用，等价于f[{{a,b},{c,d}}] *)

f@@{{a,b}, {c,d}}		(* 去括号（1）的应用，等价于f[{a,b},{c,d}] *)
Apply[f,{{a,b}, {c,d}}]	(* 去括号（1）的应用，等价于f[{a,b},{c,d}]，不直接修改原列表，而是返回新列表 *)

f/@{{a,b}, {c,d}}		(* 在括号（1）应用，等价于{f[{a,b}],f[{c,d}]} *)
Map[f,{{a,b}, {c,d}}]	(* 在括号（1）应用，等价于{f[{a,b}],f[{c,d}]} *)

f@@@{{a,b}, {c,d}}		(* 在括号（1）内去括号（2）应用，等价于{f[a,b],f[c,d]} *)

(* 函数操作 *)
Select[{1, -1, 2, -2, 3}, # > 0 &]
Cases[{1, 1, f[a], 2, 3, y, f[8], 9, f[10]}, _Integer]
Cases[{1, 1, f[a], 2, 3, y, f[8], 9, f[10]}, Except[_Integer]]
Cases[{1, 1, f[a], 2, 3, y, f[8], 9, f[10]}, f[x_] -> x]

(* 过程式编程 *)
Module[{x, y}, x=2; y=3; x+y]	(* 定义和使用局部变量 *)
x=1; If[x!=0, Print["Not zero"], Print["Zero"]]	(* 使用if *)
For[k = 0, k < 5, k++, Print[k]]	(* 使用for循环，有多条循环体语句时，使用;分隔 *)
n = 17; While[n++ < 20, Print[n]]	(* 使用while循环 *)
Do[Print[{i, j}], {i, 4}, {j, i - 1}]	(* 使用do循环 *)
Break[]			(* 退出最接近的内循环 *)
Continue[]		(* 进行本循环的下一步 *)
Return[expr]	(* 返回函数中的值expr *)

(* 查看选项 *)
Options[Plot]

(* 清除变量 *)
Clear[list, association](* 清除指定变量 *)
Clear["Global`*"]		(* 清除所有变量 *)

常量

I	(* 单位虚数 *)
Pi	(* 圆周率 *)
E	(* 自然常数 *)

数学

order = 3

(* 复数 *)
Re[1+2 I]		(* 取实部 *)
Im[1+2 I]		(* 取虚部 *)

(* 方程求解 *)
Solve[a+b==2 && a-b==0, {a, b}]		(* 求解方程组 *)
Solve[{a+b==2, a-b==0}, {a, b}]		(* 求解方程组 *)
NSolve[{a+b==2, a-b==0}, {a, b}]	(* 数值求解方程组 *)
FindRoot[Cos[x] == x, N{x, 0}]		(* 给定初值求解数值解 *)
Eliminate[{a x + y == 0, 2 x + (1 - a) y == 1}, y]	(* 消去变量 *)

(* 表达式化简 *)
Numerator[a/b]				(* 获得分子 *)
Denominator[a/b]			(* 获得分母 *)
Coefficient[x^2+2 x+1, x]	(* 取得某一项的系数 *)
Collect[(x+1)^2,x]			(* 合并同类项 *)
Expand[(x+1)^2]				(* 展开 *)
Together[1/(x+1)+1/(x+2)]	(* 归并，通分 *)
Apart[1/((x+1) (x+2))]		(* 分解 *)
Factor[x^2+2 x+1]			(* 因式分解 *)
Simplify[x^2+2 x+1]			(* 化简 *)
Simplify[Sqrt[x^2], x>0]	(* 带条件的化简 *)
Simplify[Re[3 x + 4 y I], {x, y} \[Element] Reals]	(* 带条件的化简 *)
ComplexExpand[(x+I)^2]		(* 复数展开 *)

(* 微积分 *)
Limit[x/Sin[x], x->0]			(* 求导数 *)
D[x^n, x]						(* 求导数 *)
D[x^n, {x,order]]				(* 求高阶导数 *)
Integrate[f, x]					(* 求不定积分 *)
Integrate[f, {x, xmin, xmax}]	(* 求定积分 *)
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}]	(* 求数值定积分 *)

(* 傅里叶变换 *)
f[x_] := Piecewise[{{1, -t < x < t}, {0, true}}]	(* 定义分段函数 *)
FourierCoefficient[f[x], x, 0]	(* 复数形式的傅里叶级数，积分范围为-Pi至Pi *)
FourierCosCoefficient[f[x], x, 0]	(* Cos形式的傅里叶级数，积分范围为0至Pi，直流值为2倍 *)
FourierSinCoefficient[f[x], x, 0]	(* Sin形式的傅里叶级数，积分范围为0至Pi，直流值为2倍 *)

(* 级数 *)
Series[1/(1+x), {x,0,3}]	(* 级数展开 *)

矩阵计算

matrix = { {1, 0}, {0, 1} }
order = 3

Det[matrix]			(* 求矩阵的行列式 *) 
Inverse[matrix]		(* 求矩阵的逆 *) 
Transpose[matrix]	(* 求矩阵的转置 *) 
ConjugateTranspose[matrix]	(* 求矩阵的共轭转置 *) 
IdentityMatrix[order]		(* 给出单位矩阵 *) 
Dot[matrix, matrix]			(* 矩阵点积，或用. *)
DiagonalMatrix[{50,50}]		(* 对角阵 *)
IdentityMatrix[3]			(* 单位阵 *)

输出

matrix = { {1, 0}, {0, 1} }
expression = x^2/Sqrt[y]
f[x_] := Sin[x]
g[x_] := Cos[x]
xmin := -Pi
xmax := Pi

(* 输出控制，适合使用//运算符 *)
N[Pi]						(* 以数值形式输出 *)
MatrixForm[matrix]			(* 以矩阵形式输出 *)
TraditionalForm[expression]	(* 以传统形式输出 *)
FullForm[expression]		(* 以函数记号形式输出 *)

(* 绘图 *)
Plot[{f[x], g[x]}, {x, xmin, xmax}]	(* 自动绘图 *)
Plot3D[]
ContourPlot[]

x = {1,3,5,7,9}; y = x^2;
example = Flatten[Table[{x, y, x+y}, {x,20}, {y,20}],1];

ListPlot[Table[{x[[k]], y[[k]]}, {k, Length[x]}]]		(* 散点图 *)
ListLinePlot[Table[{x[[k]], y[[k]]}, {k, Length[x]}]]	(* 折线图 *)
ListPlot3D[example]			(* 3D折线图 *)
ListContourPlot[example]	(* 等高线图 *)

(* 导出数据 *)
Export["dest.dat", matrix]

实例

S、Y、Z参数的转换

定义了N端口的S、Y、Z参数转换的几个函数，各端口阻抗要求相同

Y2S[Y_, Zc_] := Module[{E0, G0, Z0},
  E0 = IdentityMatrix[Length[Y]]; G0 = (1/Zc) E0; Z0 = Zc E0;
  G0.(E0 - ConjugateTranspose[Z0].Y).Inverse[(E0 + Z0.Y)].Inverse[G0]]
Z2S[Z_, Zc_] := Module[{E0, G0, Z0},
  E0 = IdentityMatrix[Length[Z]]; G0 = (1/Zc) E0; Z0 = Zc E0;
  G0.(Z - ConjugateTranspose[Z0]).Inverse[(Z + Z0)].Inverse[G0]]
S2Y[S_, Zc_] := Module[{E0, G0, Z0},
  E0 = IdentityMatrix[Length[S]]; G0 = (1/Zc) E0; Z0 = Zc E0;
  Inverse[G0].Inverse[S.Z0 + ConjugateTranspose[Z0]].(E0 - S).G0]
S2Z[S_, Zc_] := Module[{E0, G0, Z0},
  E0 = IdentityMatrix[Length[S]]; G0 = (1/Zc) E0; Z0 = Zc E0;
  Inverse[G0].Inverse[E0 - S].(S.Z0 + ConjugateTranspose[Z0]).G0]
Z2Y[Z_] := Inverse[Z]
Y2Z[Z_] := Inverse[Y]

参考

1. Wolfram Language - Fast Introduction for Programmers, https://www.wolfram.com/language/fast-introduction-for-programmers/.
2. Wolfram Language & System Documentation Center, https://reference.wolfram.com/language/index.html.
3. Qucs Technical Papers, http://qucs.sourceforge.net/tech/technical.html.