二阶系统

本文介绍了二阶系统的基本概念。

二阶系统

二阶系统的传递函数为

$$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$

其中$\omega_n$为自然频率，也可写成

$$G(j\omega)=\frac{1}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2+j2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}$$

可以近似得到$Q=1/2\zeta$

瞬态分析

极点为

$$-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$$

其实部定义为阻尼（damping）

$$\sigma=-\zeta\omega_n$$

虚部定义为衰减后振荡频率（damped natural frequency）

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

因此

• $\zeta<-1$，极点为右半平面一对不相等实数（无震荡发散）
• $\zeta=-1$，极点为右半平面一对相等实数（发散，无震荡临界情况）
• $-1<\zeta<0$，极点为右半平面一对复数（震荡发散）
• $\zeta=0$，极点为虚轴上一对大小相等符号相反的虚数（无衰减震荡）
• $0<\zeta<1$，极点为左半平面一对复数（欠阻尼衰减）
• $\zeta=1$，极点为左半平面一对相等实数（衰减，临界阻尼）
• $\zeta>1$，极点为左半平面一对不相等实数（过阻尼衰减）

当有输入信号为阶跃函数时，有

$$\begin{aligned} Y(s) &=G(s) \cdot U(s) \\ &=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} \cdot \frac{1}{s} \\ &=\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\sigma)^{2}+\omega_{d}^{2}} \cdot \frac{1}{s} \\ &=\frac{1}{s}-\frac{s+\sigma}{(s+\sigma)^{2}+\omega_{d}^{2}}-\frac{\sigma}{\omega_{d}} \frac{\omega_{d}}{(s+\sigma)^{2}+\omega_{d}^{2}} \end{aligned}$$

相应的时域表达式为

$$\begin{aligned} y(t) &=1-e^{-\sigma t} \cos \omega_{d} t-\frac{\sigma}{\omega_{d}} e^{-\sigma t} \sin \omega_{d} t \\ &=1-e^{-\sigma t}\left(\cos \omega_{d} t+\frac{\sigma}{\omega_{d}} \sin \omega_{d} t\right), t \geq 0 \end{aligned}$$

对于$\omega_n=2\pi$，不同$\zeta$时阶跃响应如下图

稳态分析

幅频响应为

$$A(\omega)=|G(j \omega)|=\frac{1}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}\right]^{2}+\left(2 \zeta \frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}}}$$

相频响应为

$$\varphi(\omega)=-180^{\circ}+\arctan \frac{\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}-1}{2 \zeta \frac{\omega}{\omega_{n}}}$$

分析三种边界情况，有

$$\begin{aligned} \omega=0 &\quad A(0)=1, \varphi(0)=0^{\circ} \\ \omega=\omega_{n} &\quad A(\omega)=\frac{1}{2 \zeta},\varphi\left(\omega_{n}\right)=-90^{\circ} \\ \omega \rightarrow \infty &\quad A(\infty)=0, \varphi(\infty)=-180^{\circ} \end{aligned}$$

对幅频响应的分母求极值，得到谐振频率

$$\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$$

以及谐振时的幅值和相位

$$A(\omega_r)=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$$ $$\varphi(\omega_r)=-\arctan\frac{\zeta}{\sqrt{1-2\zeta^2}}$$

因此，阻尼因子$\zeta $决定了

• 当$\zeta>1/\sqrt{2}$时，不存在谐振频率
• 当$\zeta=1/\sqrt{2}$时，$\omega_r=0, A(\omega_r)=1, \varphi(\omega_r)=0$
• 当$0<\zeta<1/\sqrt{2}$时，存在谐振频率
• 当$\zeta=0$时，$\omega_r=\omega_n, A(\omega_r)\rightarrow\infty, \varphi(\omega_r)=-90^{\circ}$

同样的，对于$\omega_n=2\pi$，不同$\zeta$时频率响应如下图

参考

1. 控制理论学习笔记（4）——一阶系统和二阶系统.
2. 孙晓波, 李双全, 王海英. 自动控制原理. 科学出版社, 2006.