变压器的跨阻推导

变压器是射频集成电路设计中极为重要的元件，它可以提供：

初级线圈和次级线圈的直流阻断
初级线圈的次级线圈的中心抽头是虚地，可用于连接直流偏置
阻抗匹配

在毫米波频段，其占用面积小，可实现的插入损耗、带宽相比于分立元件有较大优势。变压器的分析通常使用电感耦合的RLC谐振网络进行。

mcr

本文复现了两篇论文对变压器$Z_{21}$的分析、推导。

Haikun Jia的推导

Jia推导的核心在于直接列写KCL、KVL方程。

$\left\{ \begin{aligned} j\omega L_1I_{p1}+j\omega MI_{p2}=U_1\\ j\omega MI_{p1}+j\omega L_2I_{p2}=U_2\\ I_1-j\omega C_1U_1-\frac{U_1}{R_1}=I_{p1}\\ -j\omega C_2U_2-\frac{U_2}{R_2}=I_{p2}\\ \end{aligned} \right.$

之后直接求解

clear
syms R1 L1 C1 R2 L2 C2 M s
syms V1 V2 Ip1 Ip2 Iin

%	Transformer equations
%	V2 == 1i * w * L2 * Ip2 + 1i * w * M * Ip1
%	V1 == 1i * w * L1 * Ip1 + 1i * w * M * Ip2
%	1i * w * C2 * V2 + V2 / R2 == -Ip2
%	Ip1 + 1i * w * C1 * V1 + V1 / R1 == Iin

syms A b x
% x = [V1; V2; Ip1; Ip2]
% Ax == b

A = [0, 1, -s * M, -s * L2;
    1, 0, -s * L1, -s * M;
    0, (s * C2 + 1 / R2), 0, 1;
    (s * C1 + 1 / R1), 0, 1, 0];
b = [0; 0; 0; Iin];
x = A\b;
x = x(2) / Iin

结果为

1
2
3

x = 

(M*R1*R2*s)/(R1*R2 - M^2*s^2 + L1*R2*s + L2*R1*s + L1*L2*s^2 - C1*M^2*R1*s^3 - C2*M^2*R2*s^3 + C1*L1*L2*R1*s^3 + C2*L1*L2*R2*s^3 + C1*L1*R1*R2*s^2 + C2*L2*R1*R2*s^2 - C1*C2*M^2*R1*R2*s^4 + C1*C2*L1*L2*R1*R2*s^4)

手动整理后可得

$Z_{21}=\frac{sR_1R_2M}{(L_1L_2-M^2)C_1C_2R_1R_2s^4+(C_1R_1-C_2R_2)(L_1L_2-M^2)s^3+\\ [(C_1L_1 + C_2L_2)R_1R_2+(L_1L_2- M^2)]s^2+(L_1R_2 + L_2R_1)s + \\ R_1R_2}$

可以利用公式将$M, L, C, R$转换为$k, \omega, R, Q$，相应的公式为：

$L=\frac{R}{\omega Q}$ $C=\frac{Q}{\omega R}$ $M=k\sqrt{L_1L_2}$

于是，在Matlab中输入命令

syms Q1 Q2 w1 w2 k
% convert RLC parameters to RQw parameters
x = subs(x, M, sqrt(L1 * L2) * k);
x = subs(x, L1, R1 / w1 / Q1);
x = subs(x, L2, R2 / w2 / Q2);
x = subs(x, C1, Q1 / w1 / R1);
x = subs(x, C2, Q2 / w2 / R2)

可以得到推导结果

1
2
3

x = 

(R1*R2*k*s*((R1*R2)/(Q1*Q2*w1*w2))^(1/2))/(R1*R2 + (R1*R2*s^2)/w1^2 + (R1*R2*s^2)/w2^2 + (R1*R2*s^4)/(w1^2*w2^2) + (R1*R2*s)/(Q1*w1) + (R1*R2*s)/(Q2*w2) + (R1*R2*s^3)/(Q1*w1*w2^2) + (R1*R2*s^3)/(Q2*w1^2*w2) - (R1*R2*k^2*s^4)/(w1^2*w2^2) + (R1*R2*s^2)/(Q1*Q2*w1*w2) - (R1*R2*k^2*s^3)/(Q1*w1*w2^2) - (R1*R2*k^2*s^3)/(Q2*w1^2*w2) - (R1*R2*k^2*s^2)/(Q1*Q2*w1*w2))

手动整理，将$R_1R_2$移到分母，将移到$\omega_1^2\omega_2^2$分子，可得

$Z_{21}=\frac{k\omega_1^2\omega_2^2\sqrt{\frac{R_1R_2}{Q_1Q_2\omega_1\omega_2}}s}{Q_1Q_2(1-k^2)s^4+(Q_1\omega_2+Q_2\omega_1)(1-k^2)s^3+\\ [\omega_1\omega_2(1-k^2)+Q_1Q_2(\omega_1^2+\omega_2^2)]s^2+\omega_1\omega_2(Q_1\omega_1+Q_2\omega_2)s+\\ Q_1Q_2\omega_1^2\omega_2^2}$

进一步假设高Q值，$Q_1Q_2(\omega_1^2+\omega_2^2)\gg(1-k^2)\omega_1\omega_2$，可解得极点为

$\omega_p^2=\frac{\omega_1^2+\omega_2^2\pm\sqrt{(\omega_1^2+\omega_2^2)^2-4(1-k^2)\omega_1^2\omega_2^2}}{2(1-k^2)}$

得到了文章中的公式。此外，可以进一步简化，使初级、次级的$\omega, Q, R$对应相等，利用

syms Q w R
x = subs(x, Q1, Q);
x = subs(x, Q2, Q);
x = subs(x, w1, w);
x = subs(x, w2, w);
x = subs(x, R1, R);
x = subs(x, R2, R);
x = simplify(x)

得到

1
2
3

x =
 
(Q^2*k*s*w^4*(R^2/(Q^2*w^2))^(1/2))/(- Q^2*k^2*s^4 + Q^2*s^4 + 2*Q^2*s^2*w^2 + Q^2*w^4 - 2*Q*k^2*s^3*w + 2*Q*s^3*w + 2*Q*s*w^3 - k^2*s^2*w^2 + s^2*w^2)

即

$Z_{21}=\frac{\omega^3kQRs}{(1-k^2)Q^2s^4+2(1-k)Q\omega s^3+(1-k^2+2Q^2)\omega^2s^2+2Q\omega^3s+Q^2\omega^4}$

极点频率可以由

$\mathrm{Re}[(1-k^2)Q^2s^4+2(1-k)Q\omega s^3+(1-k^2+2Q^2)\omega^2s^2+2Q\omega^3s+Q^2\omega^4]=0$

得到，即

$(1-k^2)Q^2s^4+(1-k^2+2Q^2)\omega^2s^2+Q^2\omega^4=0$

进一步假设高Q值，$2Q^2\gg1-k^2$，可解得

$\omega_p=\frac{\omega}{\sqrt{1\pm k}}$

Marco Vigilante的推导

Marco巧妙地利用了Y参数，避免了很多的复杂计算。变压器方程为

$\left\{ \begin{aligned} U_1=j\omega L_1I_1+j\omega MI_2\\ U_2=j\omega MI_1+j\omega L_2I_2\\ \end{aligned} \right.$

变换后为

$\left\{ \begin{aligned} I_1=\frac{L_2}{j\omega(L_1L_2-M^2)}U_1+\frac{-M}{j\omega(L_1L_2-M^2)}U_2\\ I_2=\frac{-M}{j\omega(L_1L_2-M^2)}U_1+\frac{L_1}{j\omega(L_1L_2-M^2)}U_2\\ \end{aligned} \right.$

因此得到了Y参数。取$s=j\omega, L=L_1=L_2, M=kL$，有

$\left\{ \begin{aligned} I_1=\frac{1}{sL(1-k^2)}U_1+\frac{k}{sL(1-k^2)}U_2\\ I_2=\frac{k}{sL(1-k^2)}U_1+\frac{1}{sL(1-k^2)}U_2\\ \end{aligned} \right.$

此时，加上两侧的电容，电阻，并令

$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC(1-k^2)}}$ $Q=\frac{R}{\omega L(1-k^2)}=\omega RC$

可以得到整体Y参数为

$\left\{ \begin{aligned} I_1&=\frac{1}{R}\left[1+Q\left(\frac{s}{\omega}+\frac{\omega}{s}\right)\right]U_1-\frac{\omega kQ}{sR}U_2\\ I_2&=-\frac{\omega kQ}{sR}U_1+\frac{1}{R}\left[1+Q\left(\frac{s}{\omega}+\frac{\omega}{s}\right)\right]U_2\\ \end{aligned} \right.$

此时，对Y参数矩阵求逆

clear
syms R Q w s k
syms Y
Y = [1 / R * (1 + Q * (s / w + w / s)), -k * w * Q / s / R;
    -k * w * Q / s / R, 1 / R * (1 + Q * (s / w + w / s))];
x = eye(2)/Y;
x(2,1)

得到结果

1
2
3

ans =

(Q*R*k*s*w^3)/(- Q^2*k^2*w^4 + Q^2*s^4 + 2*Q^2*s^2*w^2 + Q^2*w^4 + 2*Q*s^3*w + 2*Q*s*w^3 + s^2*w^2)

手动整理可得

$Z_{21}=\frac{\omega^3kQRs}{(Qs^2+\omega s+Q(1+k)\omega^2)(Qs^2+\omega s+Q(1-k)\omega^2)}$

总结

使用两种方法都能够推导出变压器$Z_{21}$的表达式，仔细观察两者简化后的表达式分母虽然一致，分子却有所区别，这是因为两者定义$Q, \omega$的方式不尽相同。尽管如此，这两种方法都可以进一步推导出两个极点的位置，用于指导变压器的宽带设计。

附录

针对Haikun Jia的Mathematica推导

(* Input 1 *)
result = Solve[s L1 Ip1 + s M Ip2 == U1 &&
   			s M Ip1 + s L2 Ip2 == U2 &&
   			I1 - s C1 U1 - U1/R1 == Ip1 &&
   			-s C2 U2 - U2/R2 == Ip2, {U1, U2, Ip1, Ip2}];
Zt = U2/I1 /. result[[1]]
(* Output 1 *)
-((M R1 R2 s)/(-R1 R2 - L2 R1 s - L1 R2 s - L1 L2 s^2 + M^2 s^2 - 
     C1 L1 R1 R2 s^2 - C2 L2 R1 R2 s^2 - C1 L1 L2 R1 s^3 + 
     C1 M^2 R1 s^3 - C2 L1 L2 R2 s^3 + C2 M^2 R2 s^3 - 
     C1 C2 L1 L2 R1 R2 s^4 + C1 C2 M^2 R1 R2 s^4))

(* Input 2 *)
Zt2 = Simplify[Zt /. M -> k Sqrt[L1 L2] /. {L1 -> R1/w1/Q1, L2 -> R2/w2/Q2, 
   C1 -> Q1/w1/R1, C2 -> Q2/w2/R2}]
(* Output 2 *)
(k R1 R2 s w1 w2)/(Sqrt[(R1 R2)/(
   Q1 Q2 w1 w2)] (s w1 (-(-1 + k^2) s w2 + 
        Q2 (s^2 - k^2 s^2 + w2^2)) + 
     Q1 (s (-(-1 + k^2) s^2 + w1^2) w2 + 
        Q2 (-(-1 + k^2) s^4 + w1^2 w2^2 + s^2 (w1^2 + w2^2)))))

(* Input 3 *)
Zt3 = Simplify[Zt2 /. {L1->L, L2->L, w1->w, w2->w, Q1->Q, Q2->Q, R1->R, R2->R},{R>0,Q>0,w>0}]
(* Output 3 *)
(k R s w^2)/(-2 (-1 + k^2) s^3 - ((-1 + k^2) Q s^4)/w + ((1 - k^2 + 
    2 Q^2) s^2 w)/Q + 2 s w^2 + Q w^3)

(* Solution of poles *)
Collect[Denominator[Zt2]/Sqrt[((R1 R2)/(Q1 Q2 w1 w2))], s]
Solve[(1 - k^2) Q1 Q2 s^4 + s^2 (Q1 Q2 (w1^2 + w2^2)) + Q1 Q2 w1^2 w2^2 == 0, s]

参考

H. Jia, C. C. Prawoto, B. Chi, Z. Wang and C. P. Yue, "A Full Ka-Band Power Amplifier With 32.9% PAE and 15.3-dBm Power in 65-nm CMOS," in IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 65, no. 9, pp. 2657-2668, Sept. 2018. DOI: 10.1109/TCSI.2018.2799983
M. Vigilante, P. Reynaert, 5G and E-Band Communication Circuits in Deep-Scaled CMOS. Switzerland: Springer, 2018. DOI: 10.1007/978-3-319-72646-5